Questão 27 (CTI 2015)

Oláá, people.. Hoje cedo, ou ontem a noite, não sei.. tive um pedido que foi a questão 27 que caiu em 2015. Então, bora resolvê-lo!

Um grupo de x professores se reuniu em um restaurante para comemorar o final do ano letivo. A conta, no valor de R$ 720,00, seria inicialmente dividida entre todos, e cada um pagaria y reais. Depois, decidiu-se que três professores, que aniversariavam naquela semana, não deveriam pagar. Assim, cada um dos demais contribuiu com mais R$ 40,00 e a conta foi paga. A equação que permite calcular corretamente o número de professores desse grupo é:
(A) x2 + 4x – 54 = 0
(B) x2 – 4x + 68 = 0
(C) x2 – 3x – 54 = 0 
(D) x2 + 3x + 54 = 0

Bom, quando se trata de problemas, dificuldade é a interpretação do exercício e, consequentemente, a hora de passar p linguagem simbólica. Então vamos no passo a passo.

Primeira informação dada: total de professores = x

Segunda informação: a conta foi R$720,00 e foi dividida, inicialmente, por todos os profs, portanto
720, e que cada um, após a divisão, pagou y reais.. 720 = y
  x                                                                                         x

Terceira informação: três professores não vão mais pagar a conta, portanto: (x - 3) e cada professor pagante terá que desembolsar mais R$40,00, portanto y + 40:   720 = y + 40
                                             (x - 3)
Montamos um sistema:
1ª equação: 720 = y
                         x
2ª equação: 720 = y + 40
                     (x - 3)

Pessoal, primeira coisa que faremos será, na 2ª equação, passar (x - 3) multiplicando do outro lado
(y + 40).
2ª equação: 720 = (y + 40).(x - 3) DISTRIBUTIVA!!! 
2ª equação: 720 = xy - 3y + 40x - 120

A 1ª equação diz que y = 720, e vamos substituir isso na 2ª equação.
                                                x
720 = xy - 3y + 40x - 120

720 = x. 720 - 3. 720 + 40x - 120 Já vou passar o 720 para o outro lado
                 x           x
720x - 2160 + 40x - 120 - 720 = 0 >>>> 720 - 2160 + 40x - 840 = 0
   x          x                                                                 x

agora, temos x no denominador e vamos tirá-lo de lá.. fazemos MMC entre (1, x), ou, simplesmente, multiplicamos todos os termos da equação por x:
720x - 2160x + 40x² - 840x = 0
               x
720x - 2160 + 40x² - 840x = 0
40x² - 120x - 2160 = 0
Através de equivalência entre equações, sabemos que podemos multiplicar ou dividir todos os termos da equação por um mesmo número, e todos os termos dessa equação são divisíveis por 40.

x² - 3x - 54 = 0 (alternativa C)

Esse exercício era um pouquinho mais complicadinho para compreensão mas espero que tenham entendido. Caso ainda tenha ficado alguma dúvida, já sabem... deixem nos comentários!!!
Beeeijos!! <3